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アキレスと亀のパラドックス

投稿日:2020年3月17日 更新日:

アキレスと亀のパラドックスとは

概要

アキレスと亀のパラドックスは「不合理なのに論破できない主張」の例えとして使われます。

本来ならば人(アキレス)が亀に追いつけないという事は基本的にはありませんが、このパラドックスでは「本来ならば 追いこせるはずの亀」をアキレス(人)が追い越せない理論のため不自然なのに直感的に論破しにくいことからパラドックスとして扱われています。

この不思議な状況は着眼点の違いによって通常は考える事の少ない視点からの理論を展開しているために起こります。
※数学的な問題にとどまらずに哲学の分野でも取り扱われるため多くの意見があります。

パラドックスの内容

このパラドックスはゼノンの逆説の一つで「俊足のアキレスが鈍足の亀を追いかけるとき、アキレスがはじめに亀のいたところに追いついたときには、亀はわずかに前進している。これを繰り返すかぎり、アキレスは亀に追いつくことはできないという説。」という内容が前提です。

理論的には正しいですが違和感を覚える人が多いと思います。

具体的な内容は下記の通りです。

  1. アキレスがA1地点(スタートから0m)にいるとき、亀は地点A2(スタートから100m)にいます。
    ※二者の距離は100m離れています。
  2. アキレスは亀に追いつくためA2(スタートから100m)を目指します。
    • アキレスがA2(スタートから100m)についたとき、亀はA3(スタートから150m)の地点にいます。
      ※二者の距離は50m離れています。
  3. アキレスはA2(スタートから100m)から亀のいるA3(スタートから150m)を目指します。
    • アキレスがA3(スタートから150m)についたとき、亀はA4(スタートから175m)にいます。
      ※二者の距離は25m離れています。

この繰り返しが無限に続きます。

この理論の最大のポイントは「目的地が亀のいる地点」というところです。

実際に行っている内容は距離や時間を細分化していくだけの理論であるため感覚的な認識とはズレが生じてしまいます。

この理論の内容は実際に正しいですが通常の考え方では想定しないような前提条件である「亀を追い続ける」という定義がある限りアキレスは亀に追いつくことはできません。

しかし、亀との距離はどんどん近づいていきますし目的地までの時間も短縮されていきます。

これだけでは意味不明だと思う人も多いと思うため、更に具体的でわかりやすく簡単にイメージしやす解説する例としてAさん(足が速い)とBさん(足が遅い)が200m走って競争するシーンを考えてみます。

ハンデとしてBさんのスタート位置はAさんよりもゴールに100m近いです。
※計算しやすいようにAさんは100m10秒かかったとします。

  • 0秒(開始位置)
    Aさんはスタートから100mの地点を目指します。
    • Aさんはスタート地点
    • Bさんはスタート地点から100mでゴール地点から100mの位置
      ※スタートとゴールの真ん中にいます。
  • 5秒後
    • Aさんがスタートから50m地点に到着
    • Bさんはスタートから125m地点にいます。
      現在離れている距離は75mです。
  • 10秒後
    Aさんは目標地点に到着しましたがBさんは50m先にいるのでスタートから150m地点を新たな目標にします。
    • Aさんがスタートから100m地点に到着
    • Bさんはスタートから150m地点にいます。
      現在離れている距離は50mです。
  • 15秒後
    Aさんは目標地点に到着しましたがBさんは25m先にいるのでスタートから175m地点を新たな目標にします。
    • Aさんがスタートから150m地点に到着
    • Bさんはスタートから175m地点にいます。
      現在離れている距離は25mです。
  • 20秒後
    Aさんは目標地点に到着しましたがBさんは50m先にいるのでスタートから150m地点を新たな目標にします。
    • Aさんがスタートから200m地点に到着
    • Bさんはスタートから200m地点にいます。
      現在離れている距離は0mでAさんはBさんに追いついて同時にゴールしました。

時間軸を中止に考えるとこのように徐々に差が短縮されていきます。

そして、アキレスと亀のパラドックスでは「0秒」「10秒」「15秒」「17.5秒」と時間軸を短くして考えていく理論になります。

測定している時間も移動距離も短くなっていきますがこれを何回繰り返してもA・Bさんが同じ地点にたどり着く事はできません。

このような不自然な理論はアキレスと亀のパラドックスに限った事ではありません。

具体例

ケーキが1つあります。
このケーキを半分ずつ食べていきます。

  • 1回目は元の1/2食べれます。
  • 2回目は元の1/4食べれます。
  • 3回目は元の1/8食べれます。

これはほぼ無限に繰り返す事ができます。

徐々に食べる量が減っていきますが、何回ケーキを食べても元の1つを超える事はありません。
※このような現象は無限級数が有限級数に近づくと表現されています。

まとめ

本来なら人は簡単に追い越す事ができるはずの亀ですが、理論上は無限回数行っても亀に追いつけないのがアキレスの亀の理論です。

理論的には正しいですがそもそもの問である着眼点に違和感を感じる人が多いと思います。

このように着眼点が異なる場合は答えがなかなか見つからない事があるため「不合理なのは認識できても論破できない主張」の例えとしても使われる事があります。

また、コペルニクス的転回で知られるコペルニクスの地動説ですが、周囲の人が天動説を信じる中、コペルニクスは地動説を提唱しました。

コペルニクスが地動説を提唱する以前から地動説を提唱する人はいましたが、それが広まる事はありませんでした。

コペルニクスの地動説は周知されたのは時代背景などのタイミングに恵まれた結果です。

物事の本質を見極めて周囲の人が見えてない物を見れれば答えに一歩近づくことができますが、それは今までの主流である原理原則を無視したものとなるため、大きな反感を買う可能性もあります。

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