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大数の法則(多数の法則)

投稿日:2020年3月3日 更新日:

大数の法則(多数の法則)とは

概要

大数の法則(たいすうのほうそく)は試行回数を多くすることで理論値に近づくという基本的な定理です。

確率や統計では理論値が算出されますが、分母(試行回数)が小さいと偏りが大きくなってしまう傾向があるため、試行回数を増やして偏りを軽減し実際の近似値に収束する事はとても重要です。

基本的な事のように感じる人も多いと思いますが、理論的に導かれた数字や実験の内容を証明をするためのサンプル数が少ないと事が後々大きな問題となる事例はとても多いです。

大数の法則は数字を扱う事のある様々な分野で使われているため、政治・経済・金融などの社会基盤では欠かす事のできないものとなっています。

具体例

一般的な1~6まであるサイコロを投げる場合、それぞれの目が出る確率は理論値ではいずれも1/6づつです。

しかし、サイコロを投げる回数が一回の場合はいずれか1つの目だけが100%出たことになります。

当然このようなサンプルで理論を証明しても誰も納得はしないと思います。

そのため、試行回数を増やして偏りを減らす必要があり、多くの場合は回数を重ねると理論値に近づいていきます。

しかし、ここで注意しなくてはいけない点がありま、サイコロを実際に振る場合は1/6に収束しないことが大半です。

これは古典物理学的な現象の重心のずれが影響していると考えられています。
※重心を計算して作られているサイコロは非常に高価で、一般的に流通している物とは精度が大きく異なります。

これはコインも同様で片面が重い場合は1/2に収束しませんし、実際に人が行うと力加減の影響で偏りが生じます。

このため、現実的な数字と理論的な数字にはずれが生じる事が多いです。

また、コインが連続して片方の面が出ていると、次に出る面は連続してでている面とは異なった面がでるように誤認してしまうギャンブラーの錯誤(ギャンブラーの誤謬/モンテカルロの誤謬)など、直感的な判断と理論的な数字が異なる点にも注意が必要です。

そして、片方の面が過剰に連続して出続けている時は作為的にそのような現象がが引き起こされている可能性の方が高いので、統計のような理論ではなく人的な要因を考える必要がでてきます。

まとめ

大数の法則は様々な分野で使用されていて、特に銀行の金利(利息/利子)や保険会社の保険料などは代表的で、一見偶然に見える事象でも大量に観察する事で一定の規則性をもって金融事故自己破産、事故・病気・怪我などが発生している事がわかります。

このような方法は実態の数字を導き出す事が困難な状況(未来に起こる確率を予測する事はとても難しいです)で用いられる事が多い方法です。

そして、このような情報を使って基礎数値を求めて統計的に費用を算出していきますが、試行回数を増やす(分母を大きくする)事で実際の数字に収束させるため、データの数が少ないと予測が大きくずれてしまため、サンプル数はとても重要な要因となります。

このため、正しい理論が確立されていないような状況(現代の科学で解明されていない現象などは結果からどのような傾向があるのかを分析して統計的に確率を算出しています)では、試験をたくさんすることで統計的な確率を割り出して実数に近い試算を行っています。
※理論が正しくなければ理論値と乖離する事もあります。

また、実際に全体の総数を把握したり、確率を計算する時に正確な数字がわからない場合は一般的にフェルミ推定を使う事が多いです。

例えば
車の保険料を計算する際には車の登録台数や過去の事故件数などの推移から未来の事故件数を予想して、それを元に保険料の概算を算出しています。
※わかりやすいように簡略化して記載しています。

しかし、予想するために実際の近似値の情報が必要になるため、予測した値と実際の値が大きく異なると算出された誤差が大きくなってしまうので注意が必要です。

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